Ahora a ejercitar las operaciones en Z

Aquí les dejo un enlace en el cual obtendrán más información del conjunto de los números enteros. Al final de la lectura encontraran una serie de ejercicios que deben realizar en su cuaderno ya que serán discutidos en la próxima clase.El conjunto Z 

Propiedades del conjunto de los números enteros

Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna:

       a + b

       3 + (−5)

2. Asociativa:

           (a + b) + c = a + (b + c)

     (2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

                    5 − 5 = 2 + (− 2)

                          0 = 0

3. Conmutativa:

            a + b = b + a

      2 + (− 5) = (− 5) + 2

               − 3 = − 3

4. Elemento neutro:

            a + 0 = a

       (−5) + 0 = − 5

5. Elemento opuesto

         a + (-a) = 0

        5 + (−5) = 0

            −(−5) = 5

Propiedades de la resta de números enteros

1.Interna:

              a − b

       10 − (−5)

2. No es Conmutativa:

           a - b ≠ b - a

          5 − 2 ≠ 2 − 5

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna:

             a · b

        2 · (−5)

2. Asociativa:

        (a · b) · c = a · (b · c)

   (2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

           6 · (−5) = 2 · (−15)

                  -30 = -30

3. Conmutativa:
           a · b = b · a
      2 · (−5) = (−5) · 2

             -10 = -10

4. Elemento neutro:

           a ·1 = a

      (−5)· 1 = (−5)

5. Distributiva:

        a · (b + c) = a · b + a · c

    (−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

             (−2)· 8 =- 6 - 10

                   -16 = -16

6. Sacar factor común:

            a · b + a · c = a · (b + c)

  (−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna:

      (−2) : 6

2. No es Conmutativo:

          a : b ≠ b : a

     6 : (−2) ≠ (−2) : 6

¿Cómo surgen los números enteros?

Z  =  Conjunto de los Números Enteros

Z =   { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 =  ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).

Z = N*  U Conjunto de los Números Enteros negativos

Z = Tiene 3 Subconjuntos:
Enteros Negativos: Z ^¯
Enteros Positivos:  Z ⁺
Enteros Positivos y el Cero:  Z ₀⁺
Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.                     

    Z  =  Z ¯  U  {0}  U  Z ⁺